Nulidad de pleno derecho

Teorema de nulidad de rango

El teorema de nulidad de rango es un teorema del álgebra lineal que afirma que la dimensión del dominio de un mapa lineal es la suma de su rango (la dimensión de su imagen) y su nulidad (la dimensión de su núcleo)[1][2][3][4].

Mientras que el teorema requiere que el dominio del mapa lineal sea de dimensión finita, no existe tal suposición sobre el codominio. Esto significa que hay mapas lineales no dados por matrices para los que se aplica el teorema. A pesar de ello, la primera demostración no es en realidad más general que la segunda: puesto que la imagen del mapa lineal es de dimensión finita, podemos representar el mapa de su dominio a su imagen mediante una matriz, demostrar el teorema para esa matriz, y luego componer con la inclusión de la imagen en el codominio completo.

{\a6}*Matriz de dominio {Im}*Matriz de imagen T=\Nnombredeloperador {Span} T({\mathcal {B}})=operador {Span} \T(v_{1}),\ldots ,T(v_{k}),T(w_{1}),\ldots ,T(w_{n-k})\nd =operatorname {Span} \T(w_{1}),\ldots ,T(w_{n-k})\N=nombre del operador {Span} T({\mathcal {S}).}

Rango(ab rango a)

Sea A una matriz. Recordemos que la dimensión de su espacio de columnas (y del espacio de filas) se llama rango de A. La dimensión de su espacio nulo se llama nulidad de A. La conexión entre estas dimensiones se ilustra en el siguiente ejemplo.

Con sólo tres filas no nulas en la matriz de coeficientes, en realidad sólo hay tres restricciones sobre las variables, dejando 5 – 3 = 2 de las variables libres. Sean x 4 y x 5 las variables libres. Entonces la tercera fila de A′ implica

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Nótese en particular que el número de variables libres -el número de parámetros en la solución general- es la dimensión del espacio nulo (que es 2 en este caso). Además, el rango de esta matriz, que es el número de filas no nulas en su forma escalonada, es 3. La suma de la nulidad y el rango, 2 + 3, es igual al número de columnas de la matriz.

La relación entre el rango y la nulidad de una matriz, ilustrada en el ejemplo anterior, es válida para cualquier matriz: El teorema del rango más la nulidad. Sea A una matriz de m por n, con rango r y nulidad ℓ. Entonces r + ℓ = n; es decir,

Matriz ker

El espacio nulo de cualquier matriz A está formado por todos los vectores B tales que AB = 0 y B no es cero. También puede pensarse como la solución obtenida de AB = 0 donde A es una matriz conocida de tamaño m x n y B es una matriz a encontrar de tamaño n x k. El tamaño del espacio nulo de la matriz nos proporciona el número de relaciones lineales entre atributos.

1. AB = 0 implica que cada fila de A cuando se multiplica por B va a cero.2. Los valores de las variables en cada muestra (representados por una fila) se comportan igual.3. Esto ayuda a identificar las relaciones lineales en los atributos.4. Cada vector del espacio nulo corresponde a una relación lineal.

La nulidad puede definirse como el número de vectores presentes en el espacio nulo de una matriz determinada. En otras palabras, la dimensión del espacio nulo de la matriz A se denomina nulidad de A. El número de relaciones lineales entre los atributos viene dado por el tamaño del espacio nulo. Los vectores del espacio nulo B pueden utilizarse para identificar estas relaciones lineales.

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Matemáticas de nulidad

He construido una simulación (usando el método svd de numpy) que tiende a informar que los últimos valores singulares son todos del mismo orden de magnitud, ~1e-16. También he encontrado un ejemplo en el que los dos últimos valores singulares son iguales.

Supongo que el problema podría ser el algoritmo que numpy está usando para calcular el SVD – que se está encontrando con algún problema de precisión numérica porque algunas columnas de $A$ son linealmente independientes pero no con precisión de máquina. En este caso, ¿hay alguna solución numérica sencilla?